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斐波那契数列的通项公式推导

[日期:2015-11-24] 来源:段训明老师 推荐  作者:初一(1)班 吴尧天 [字体: ]

 

斐波那契数列的通项公式推导

 

九江晨光中学 初一(1)班 吴尧天

   

        112381321345589144……,这一串数大家一定不陌生,也就是著名的斐波那契数列。我的这篇推导,就是我对它研究过程。当然,我们先不说其它的,就来一起了解一下什么是斐波那契数列吧。

        首先斐波那契数列中,an=an-1+an-2,这一点可谓是妇孺皆知。在小学数学的“找规律”中,都常常可见。1+1=21+2=32+3=5……可是要说起它的第二个性质,知道的人便少了许多。那么它的第二个性质又是什么呢?

不妨让我先介绍一下什么是黄金分割比吧。

黄金分割比,是1/x=(x+1)/1x的值,更形象的说是a:b=(a+b):a这个比例的比值。黄金分割比在美学的角度来说,又是被公认最能引起美感的比例。在《蒙娜丽莎》《最后的晚餐》等诸多达芬奇的作品中,都有体现;许多名扬世界的建筑上,也遍布着它的足迹。它的值是一个无理数,同π一样,是不能写出它的准确值。(它的值是(√5-1/2,约为0.618034)。

可是,黄金分割与斐波那数列又有着什么关系呢?

让我们先看几组算式吧:1÷1=11÷2=0.52÷30.6673÷5=0.65÷8=0.6258÷130.61513÷210.61921÷340.618……

仔细观察和分析上面的结果,它们越来越逼近一个值——黄金分割比!

黄金分割比给了我灵感,于是我的入手点便是开始从(√5-1/2开始,可是我后来发现,这并不能对我有大帮助,只能认为一个减数或加数,甚至根本无用。但这倒给了我一个提醒,将其分解后,还必为含有无理数的代数式。于是,我开始以√5做为切入点,分解此式。

首先,这让我想到的是递推这样的手段——这又让我联想到小学告诉我们的设数法,又想到斐波那契数列第一性质——我于是大胆在猜想起来。

我假定了两数:xy,它们满足x+y=1-xy=1。正好其符合了斐波那契数列的第一性质。将此方程解,x=1-5/2y=1+5/2(解方程过程略)。之所以我假定了xy,是因为我们可将原问题表达为an-xan-1=y(an-1-xan-2)。同时,此式又可以无限分解,最终分解为an=yn-1+xan-1;然而,此式又可同上的将其无限分解为an=x0yn-1+x1yn-2+x2yn-3++xn-2y1+xn-1y0,仔细观察,它是一个多次方差公式里的一个因式!(多次方差公式:an-bn=(a-b)(an-1b0+an-2b1+an-3b2++a2bn-3+a1bn-2+a0bn-1)按此式倒推,得an=(yn-xn)/(y-x),这就是斐波那契的通项公式!an=(yn-xn)/(y-x),即,当y=(√5+1/2x=1-5/2时,an=((1+5)n-(1-5)n)/(5*2n)。这就斐波那契数列的通项公式:an=((1+5)n-(1-5)n)/ (5*2n)

虽然推导的过程与黄金分割中关系不大,但其实在我推导中,我可常是获得了黄金分割的启示。例如我在解xy时,思考了一会儿,想起了黄金分割,于是又想起-0.618*1.618-1,且-0.618+1.618=1。果不其然。中途,我也发现了许多“不谋而合”的地方。但觉得,我主要解此问题的一大突破,还在于递推的过程。发现能用代数来符合其第一性质,也是叫我想了很久。

后来我看了看百度上的公式,和我竟是一样的答案,这让我很是高兴。我用我学到的知识推导出了这个公式,是多么令我开心啊!



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